Gesellschaft für Informatik e.V.

Lecture Notes in Informatics


Ausgezeichnete Informatikdissertationen 2000 D-1, 43-52 (2000).

GI, Gesellschaft für Informatik, Bonn
2000


Editors

Dorothea Wagner (ed.)


Copyright © GI, Gesellschaft für Informatik, Bonn

Contents

Algorithmische Strategien für anwendbare reelle Quantorenelimination

Andreas Dolzmann

Abstract


Virtuelle Substitution ist nicht zuletzt durch die Optimierungen, die in dieser Arbeit diskutiert wurden, einer der bedeutenden Quantoreneliminationsverfahren für lineare und quadratische Formeln. Eine exakte Analyse des Verfahrens nach algorithmischen und softwaretechnischen Ge- sichtspunkten in Kapitel 3 zeigt eine klare Gliederung des Verfahrens in vier Phasen. Diese exakte Analyse ermöglicht es erstmals die bisher eher unsystematischen Optimierungen in ein Schema zu bringen. Dies erlaubt es uns, sie weitreichend zu verallgemeinern. Die Analyse des Zusammenwirkens der Phasen führt zu einer neuen Optimierung, die einen Zusammenhang zwischen der Seitenauswahl und der virtueller Substitution erstmalig zeigt und verwendet. In Kapitel 4 zeigen wir Methoden auf, um die Größe der berechneten Eliminationsmengen drastisch zu verkleinern. Dazu verwenden wir zum einen eine Theorie, die gültige An- nahmen über die Parameter zusammenfaßt. Zum anderen nützen wir die Eigenheiten von Gleichungen und negierten Gleichungen aus, um bereits die Anzahl der Kandidatenlösungen zu senken. Das von uns in Kapitel 5 eingeführte Condensing löst die modifizierte Substitution in der vierten Phase ab. Eine sorgfältige Analyse des Zusammenwirkens der Substitutionsresultate erlaubt es hier, Teile der Formel in den einzelnen Substitutionschritten zu vernachlässigen. Dies führt bereits zu kleineren Formeln einer einfacheren Struktur. Schließlich werden ebenfalls in dieser Phase die Simplifikationsmethoden, die wir in Kapitel 2 eingeführt hatten, zur abschließenden Vereinfachung der Formel benutzt. Alle Optimierungen zusammen führen im Vergleich zum naiven Verfahren, wie es von Weispfenning eingeführt wurde, zu wesentlich einfacheren Ergebnisformeln, die darüber hinaus sehr viel schneller berechnet werden. Unsere Definition der lokalen Quantorenelimination, die in Kapitel 6 eingeführt wurde, erlaubt es das Verfahren weiter zu optimieren, ohne die Anwendbarkeit der Quantorenelimination allzusehr einzuschränken. Abschließend zeigen wir, daß Quantorenelimination mittels virtueller Substitution einen sehr flexiblen Ansatz zum Lösen von Schedulingproblemen bietet. Wir demonstrieren unseren Ansatz am Beispiel des Mehrmaschinenmodells, der Projektnetzwerke und der Formulierung des Verspätungsmanagements. Wir führen Optimierungen der Quantorenelimi- Andreas Dolzmann nation ein, die Informationen über die konkrete Problemstellung benutzen. Diese Optimierungen zeigen insbesondere, welche Möglichkeiten in der Quantorenelimination mittels virtueller Substitution stecken, wenn man sie zu einem problemspezifischen Solver erweitert. Literaturverzeichnis [Bar86] Bartusch, M.: Optimierung von Netzplänen mit Anordnungsbeziehungen bei knappen Be- triebsmitteln. 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Er studierte an der Universität Passau Informatik mit Nebenfach Mathematik und erhielt dort 1995 das Diplom in Informatik mit Auszeichnung. Von der Fakultät für Mathematik und Informatik wurde ihm der Doktor rer. nat. 2001 mit summa cum laude verliehen. Seitdem arbeitet er in Passau als wissenschaftlicher Assistent und forscht im Bereich des symbolischen Rechnens mit Schwerpunkt auf Entwurf, Design, Implementierung und Anwendung von Quantoreneliminationsverfahren.


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GI, Gesellschaft für Informatik, Bonn
ISBN 3-88579-405-5


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